Preparatoria Abierta Matemáticas I Módulo IV

MATEMÁTICAS I    MÓDULO IV             OPERACIONES CON CONJUNTOS

Unión de conjuntos: Consiste en obtener un conjunto con todos los elementos de dos o más conjuntos, si existen elementos comunes (repetidos) en los conjuntos iniciales se escriben una sola vez en el conjunto resultante. La unión de conjuntos se simboliza con U.

Ejemplos

1.- Sean los conjuntos A = {2,4,6,8,10}       y      B = {1,2,3,4,5,6}

La unión de estos conjuntos se denota así:

AUB = {2,4,6,8,10} U {1,2,3,4,5,6} = {1,2,3,4,5,6,8,10}

Los elementos repetidos 2,4,6, se escriben una sola vez.

2.- Sean los conjuntos C = {a,e,i,o,u}      y         D = {b,c,d,f,g}

La unión de estos conjuntos se denota así:

CUD = {a,e,i,o,u} U {b,c,d,f,g} = {a,b,c,d,e,f,g,i,o,u}

En este caso, no hay elementos repetidos.

Intersección de conjuntos: Consiste en obtener un conjunto con los elementos que son comunes a dos o más conjuntos, es decir, el conjunto resultante está formado por los elementos repetidos en los conjuntos iniciales. La intersección de conjuntos se simboliza con ∩.

Ejemplos

1.- Sean los conjuntos F = {2,4,6,8,10}       y      G = {1,2,3,4,5,6}

Los elementos 2,4,6 están en ambos conjuntos y con estos se forma el conjunto resultante.

La intersección de estos conjuntos se denota así:

          F∩G = {2,4,6,8,10} ∩ {1,2,3,4,5,6} = {2,4,6}

2.- Sean los conjuntos H = {3,6,9,12,15}             y          J = {1,2,4,8,10}

En este caso no hay elementos comunes a los dos conjuntos.

Los conjuntos que no tienen elementos en común se llaman conjuntos disjuntos.

La intersección de dos o más conjuntos disjuntos, como H y J, es el conjunto vacío, es decir, un conjunto que no tiene elementos.

La intersección de estos conjuntos se denota así:

                                     H∩J = {3,6,9,12,15} ∩ {1,2,4,8,10} = { }

Complemento de un subconjunto: Es un conjunto cuyos elementos son los que le faltan al subconjunto para ser igual que el conjunto universal.

El complemento de un subconjunto se denota con la misma letra del subconjunto, pero con una comilla colocada en la parte superior de la letra. Por ejemplo, si tenemos un subconjunto llamado S, su conjunto complemento se llamaría S’.

Ejemplos

1.- Sea el conjunto U = {Todas las letras del alfabeto}         y

             el conjunto V = {Las vocales del alfabeto},

  el cual es un subconjunto propio de U.              V ⊂ U

El conjunto complemento de V es: V’ = {Todas las consonantes del alfabeto}

Si hacemos la unión V con V’, obtenemos el conjunto universal:

VUV’ = {Las vocales del alfabeto} U {Todas las consonantes del alfabeto} =

VUV’ = {Todas las letras del alfabeto}

2.- Sea el conjunto U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}               y

  el conjunto P = {2,3,5,7},

  el cual es un subconjunto propio de U.              P ⊂ U

El conjunto complemento de P es: P’ = {1,4,6,8,9}

Gráfica de un conjunto.

Uno o más conjuntos pueden representarse en forma gráfica y también las relaciones que guardan entre ellos, para esto se utilizan los Diagramas de Venn, llamados así en honor del matemático inglés John Venn.

En estos diagramas se emplean las figuras geométricas rectángulo y círculo, el primero representa al conjunto universal o de reemplazamiento, y el segundo a un conjunto determinado. Por cada conjunto hay un círculo correspondiente, estos se ubican dentro del rectángulo.

Ejemplos.

1.- 

En el diagrama 1, el rectángulo representa un conjunto universal que está formado por los números del 1 al 10, el cual puede escribirse también como:

U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

Dentro del conjunto universal están los conjuntos A y B, los cuales son subconjuntos de U, cada uno de ellos puede escribirse como:

A = {1,2,3}                               B = {4,5,6,7}

Los círculos de los conjuntos A y B están separados porque no tienen elementos en común, es decir, son conjuntos disjuntos.

2.-

En el diagrama 2, el rectángulo representa un conjunto universal que está formado por los números del 1 al 12, el cual puede escribirse también como:

U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}

Dentro del conjunto universal están los conjuntos C y D, los cuales son subconjuntos de U, cada uno de ellos puede escribirse como:

C = {1,2,3,4,6}                     D = {2,4,5,6,7}

Los círculos de los conjuntos C y D están sobrepuestos porque tienen elementos en común el 2,4 y 6, estos se muestran en el espacio delimitado por el cruce de los dos círculos.

Gráfica de las operaciones con conjuntos.

Unión de Conjuntos

Ejemplos

1.- Sean los conjuntos G = {i,o,w,a,e}     y    M = {a,e,b,d,g,c,f}. Realizar la unión de estos conjuntos y representarla gráficamente.

La unión es:              GUM = {i,o,w,a,e}U{a,e,b,d,g,c,f} = {i,o,w,a,e,b,d,g,c,f}

Y la gráfica correspondiente es:

La unión de los conjuntos G y M está representada por el sombreado. Este punto es importante, el sombreado es el que indica la operación, si no lo realizamos, aunque los elementos estén bien ubicados en los conjuntos, el diagrama estará representando únicamente la gráfica de los conjuntos.

2.- Realizar la gráfica de la unión de los conjuntos;

                                   P = {11,13,15,17,19}    y    Q = {12,14,16,18,20}

La unión es:              PUQ = {11,13,15,17,19}U{12,14,16,18,20}

                                 PUQ = {11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}

Y la gráfica correspondiente es:

Intersección de conjuntos

Ejemplos

1.- Sean los conjuntos G = {i,o,w,a,e}     y    M = {a,e,b,d,g,c,f}. Realizar la intersección de estos conjuntos y representarla gráficamente.

La intersección es:               G∩M = {i,o,w,a,e}∩{a,e,b,d,g,c,f} = {a,e}

Los elementos que se repiten son la a y la e.

Y la gráfica correspondiente muestra en el sombreado esta operación.
:

2.- Realizar la intersección de los conjuntos B = {2,3,4,5} y C = {4,5,6,7}.

La intersección es:               B∩C = {2,3,4,5}∩{4,5,6,7} = {4,5}

Y la gráfica correspondiente es:

Complemento de un conjunto

Ejemplos.

1.- Considere el conjunto universal U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} y el subconjunto propio de U, B = {2,3,4,5}. Determine el conjunto complemento de B y su gráfica correspondiente.

El conjunto complemento de B se denota con B’ y se forma con los elementos que le faltan a B para ser igual que el conjunto universal, y es: B’ = {1,6,7,8,9,10}.

El diagrama correspondiente a B’ es:

2.- Sean los conjuntos G = {i,o,w,a,e}     y    M = {a,e,b,d,g,c,f}.

Los cuales son subconjuntos propios de U = {a,e,i,o,u,b,c,d,f,g,w,x,y,z} . Realizar el conjunto complemento de la intersección de G y M, y representarlo gráficamente.

En este caso vamos a realizar más de una operación, por lo que es conveniente indicar el orden en que se realizan utilizando paréntesis. Recordemos que en una operación matemática, los paréntesis denotan prioridad, lo que debe realizarse primero.

La intersección de G y M la simbolizamos como: G∩M

El complemento de la intersección de G y M lo simbolizamos como: (G∩M)’

La intersección es:               G∩M = {i,o,w,a,e}∩{a,e,b,d,g,c,f} = {a,e}

Su diagrama es:

El complemento de G∩M es:         (G∩M)’ = { i,o,u,b,c,d,f,g,w,x,y,z}

Y el diagrama es:

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Preparatoria Abierta - Matemáticas I: Módulo I

Módulo I: Conjuntos

Conjunto.- Es una colección de ideas u objetos definidos de tal forma que podemos decir que forman parte o pertenecen a ese conjunto.

Las ideas u objetos que forman el conjunto se llaman elementos.

Los conjuntos se nombran con una letra mayúscula cualquiera y los elementos con minúsculas.

Ejemplos

1.- El conjunto de las vocales se escribe y simboliza:

2.- El conjunto de las estaciones del año se escribe y simboliza:

La forma (I) recibe el nombre de enumerativa o de extensión, porque se mencionan cada uno de los elementos que forman el conjunto.

La forma (II) se llama por comprensión o por descripción, para muchos casos, esta es la más conveniente y práctica o la única posible.

Otros ejemplos de esta forma:

Pertenencia y no pertenencia

Ejemplos:

Notación general para elaborar conjuntos

Basada en la forma por descripción o por comprensión, existe una notación general que nos permite elaborar conjuntos. Esta notación utiliza una variable, la más común es la letra x, la cual va a tomar un valor o un nombre específico que cumpla la condición indicada.

Lo cual se lee: “El conjunto E está formado por elementos x, tales que x sea una estación del año”. La línea vertical se lee “tal que”.

Puesto que existen cuatro estaciones del año, la variable x, puede tomar una o todas ellas, es decir, podrá variar hasta cuatro veces.

La condición: “x sea una estación del año” es llamada oración abierta.

Una oración abierta es aquella en la que interviene una variable, y puede ser verdadera o falsa, depende del valor que adopte la variable.

Al conjunto del cual se obtienen los valores que adopta la variable x, se le llama conjunto de reemplazamiento.

Cuando se emplea la notación para elaborar conjuntos, se debe indicar también el conjunto de reemplazamiento.

Así, en este ejemplo, se está solicitando un conjunto de nombre E formado por elementos x que sean números, los cuales deben elegirse del conjunto de reemplazamiento A.

Al conjunto formado por los elementos seleccionados del conjunto de reemplazamiento que hacen verdadera la oración abierta, se le llama conjunto de verdad.

Entonces, para nuestro ejemplo, el conjunto de verdad para la oración abierta es:

E = {3,2}

PROBLEMAS PARA AUTOEVALUACIÓN I-1

1.- Completar los espacios siguientes con la palabra adecuada.

a) A un conjunto de jugadores de beisbol se le llama novena.

Un equipo de beisbol juega con nueve integrantes en el terreno de juego.

b) A un conjunto formado por tres guitarristas se le llama trío.

c) A un conjunto de monedas antiguas se le llama colección.

d) Un grupo de alumnos que termina una carrera profesional se denomina generación.

e) Una sala que reúne una gran variedad de libros forma una biblioteca.

f) La reunión de soldados de un país forma un ejército.

2.- Marque en la casilla correspondiente su respuesta.

F = {Clavel, rosa, perfume, violeta, gardenia}

3.- Explique por qué considera que el conjunto F está bien definido.

Porque esos elementos están enumerados y definidos para ese conjunto.

5.- Sea R el conjunto de los meses del año que tienen la letra “r” en su nombre. Marque la casilla que indique la respuesta correcta.

6.- Sea M = {1,2,3,4,5,6} el conjunto de reemplazamiento. Determine el conjunto de verdad que corresponda a cada conjunto que se da en la notación para construir conjuntos o descripción. Use la forma enumerativa.

7.- En los siguientes problemas se dan conjuntos usando la forma enumerativa, cámbielos a la forma descriptiva usando sus palabras para la condición.

a) A= {Tamaulipas, Veracruz, Tabasco, Campeche, Yucatán, Quintana Roo}

Forma descriptiva

A= {Estados de la República Mexicana de la costa del Golfo de México y del Mar Caribe}

b) E = {1,2,3,4,5,6}

Forma descriptiva

E = {Los números naturales del uno al seis}, o bien:

E = {Los números naturales menores que 7}

NOTA: El conjunto de los números naturales es un conjunto infinito, está formado por los números: 1,2,3,4,5,….

Su notación en conjuntos es: N = {1,2,3,4,5,…}

Referencias

• Villegas U. M. y René Z. F. Matemáticas I, preparatoria abierta, primer semestre. México, SEP.
  

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Preparatoria Abierta - Matemáticas I: Módulo II

Módulo II: Cardinalidad y Clasificación de los Conjuntos

Cardinalidad.- Es la cantidad de elementos que contiene un conjunto, se escribe  simbólicamente como: n (  ) =.

Dentro del paréntesis se escribe la letra del conjunto en estudio.

Ejemplo: Para el conjunto V = {a,e,i,o,u}

Su cardinalidad es 5 y se expresa por n (V)= 5, que se lee: “cardinalidad de V igual a 5”.

CLASIFICACIÓN DE CONJUNTOS

Conjunto finito.- Es aquel del cual podemos saber con certeza y precisión la cantidad de elementos que lo integran, aunque no sea fácil determinar dicha cantidad. Dicho de otra forma, un conjunto finito es aquel del cual podemos determinar su cardinalidad.

Ejemplos:                              
                                               V = {a,e,i,o,u}                 n (V)= 5

                                               B = {2,4,6,8,10,12,14}      n (B)= 7

Conjunto infinito.- Es aquel del cual no podemos saber su cantidad total de elementos, es decir, no podemos determinar su cardinalidad.

Ejemplos:                             

F = {1,3,5,7,9,11,…}         El conjunto F está formado por los números impares desde el uno hasta el infinito, con los puntos suspensivos se indica que los elementos del conjunto se continúan indefinidamente.

G = {2,4,6,8,10,…}           El conjunto G está formado por los números pares desde el dos hasta el infinito.

Conjunto universal.- Es aquel cuyos elementos son tomados como referencia para realizar con ellos ciertas operaciones, equivale al conjunto de reemplazamiento para las oraciones abiertas que se emitan con respecto a él. Se representa comúnmente con la letra U.

Algunos ejemplos de conjuntos universales son:

El conjunto de las letras del alfabeto es el conjunto universal para el conjunto de las vocales.

El conjunto los países del mundo es el conjunto universal para el conjunto los países de América.

Conjunto vacío.- Es aquel que no tiene elementos. Es el que resulta de una oración abierta para la que ningún elemento del conjunto de reemplazamiento la satisface. El conjunto vacío se escribe:

 Ejemplos:

1.- El conjunto de los días de la semana cuyo nombre empieza con vocal.

2.- El conjunto de astronautas que han viajado a Marte.   
.Puesto que conocemos la totalidad de elementos del conjunto vacío, se trata entonces de un conjunto finito.

Conjuntos equivalentes.- Son los que tienen la misma cantidad de elementos sin importar su naturaleza, y por lo tanto, tienen la misma cardinalidad. Entre los elementos de dos conjuntos equivalentes puede establecerse una relación o correspondencia biunívoca, es decir uno a uno.

Ejemplo: Los conjuntos    C = {verde,blanco,rojo}

                                              F = {5,4,3}

son equivalentes, puede establecerse una correspondencia biunívoca entre sus elementos.

C = {verde,blanco,rojo}

        

F = {    5,           4,        3}

Conjuntos iguales.- Dos conjuntos son iguales cuando tienen la misma cardinalidad y los elementos de un conjunto son exactamente los mismos del otro conjunto. De otra forma, se trata de un mismo conjunto expresado de dos maneras distintas.

Ejemplo:

                                    A = {a,e,i,o,u}

                                    B = {e,o,u,a,i}                                   

Dos conjuntos iguales se pueden considerar también conjuntos equivalentes porque tienen la misma cardinalidad, pero dos conjuntos equivalentes no deben considerarse conjuntos iguales porque sus elementos no son los mismos.

PROBLEMAS PARA AUTOEVALUACIÓN I-2

1.- Si llamamos N al conjunto de números naturales.

a) ¿Es N un conjunto infinito?¿Por qué?

Respuesta: N es un conjunto infinito porque siempre habrá un número posterior a aquel hasta el cual hayamos contado.

Respuesta: Un conjunto infinito es aquel del cual no podemos saber la cantidad total de sus elementos.
El conjunto de verdad es P = {1,2,3,4,5,6,7,8}, y contiene 8 elementos, es decir, sabemos exactamente la cantidad de elementos que contiene, por lo tanto, no es un conjunto infinito.

c) La cardinalidad de P será: n (P) = 8

La cardinalidad de un conjunto es la cantidad de elementos que contiene el conjunto.
2.- Para cada conjunto que se nombra marque el cuadro correspondiente según sea finito o infinito.

3.- Sea R = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} Exprese en forma enumerativa los elementos de los conjuntos que se proponen a continuación.

4.- Señale en la casilla correspondiente si el conjunto propuesto es o no vacío.

5.- Mencione la cardinalidad de los siguientes conjuntos completando los espacios.

6.- Considerando que A = {1,2,3}, B = {2,3,5}, C = {3,1,2}.

Complete la oración llenando el espacio en blanco con el símbolo correcto, escogiendo entre =, ≠ (igual, diferente).

Referencias

• Villegas U. M. y René Z. F. Matemáticas I, preparatoria abierta, primer semestre. México, SEP.
  

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