MATEMÁTICAS I MÓDULO
IV OPERACIONES CON CONJUNTOS
Unión de conjuntos: Consiste en obtener un conjunto con todos los
elementos de dos o más conjuntos, si existen elementos comunes (repetidos) en
los conjuntos iniciales se escriben una sola vez en el conjunto resultante. La
unión de conjuntos se simboliza con U.
Ejemplos
1.- Sean los conjuntos A = {2,4,6,8,10} y
B = {1,2,3,4,5,6}
La unión de estos conjuntos se denota así:
AUB = {2,4,6,8,10} U {1,2,3,4,5,6} =
{1,2,3,4,5,6,8,10}
Los
elementos repetidos 2,4,6, se escriben una sola vez.
2.- Sean los conjuntos C = {a,e,i,o,u} y D = {b,c,d,f,g}
La unión de estos conjuntos se denota así:
CUD = {a,e,i,o,u} U {b,c,d,f,g} = {a,b,c,d,e,f,g,i,o,u}
En este caso, no hay elementos repetidos.
Intersección de conjuntos:
Consiste en obtener un conjunto con los elementos que son comunes a dos o más
conjuntos, es decir, el conjunto resultante está formado por los elementos
repetidos en los conjuntos iniciales. La intersección de conjuntos se simboliza
con ∩.
Ejemplos
1.- Sean los conjuntos F = {2,4,6,8,10} y
G = {1,2,3,4,5,6}
Los elementos 2,4,6
están en ambos conjuntos y con estos se forma el conjunto resultante.
La intersección de estos conjuntos se denota así:
F∩G = {2,4,6,8,10} ∩
{1,2,3,4,5,6} = {2,4,6}
2.- Sean los conjuntos H = {3,6,9,12,15} y
J = {1,2,4,8,10}
En este caso no hay elementos comunes a los dos
conjuntos.
Los conjuntos que no tienen elementos en común se
llaman conjuntos disjuntos.
La intersección de dos o más conjuntos disjuntos,
como H y J, es el conjunto vacío, es decir, un conjunto que no
tiene elementos.
La intersección de estos conjuntos se denota así:
H∩J
= {3,6,9,12,15}
∩ {1,2,4,8,10} = { }
Complemento de un subconjunto: Es un conjunto cuyos elementos son los que le faltan
al subconjunto para ser igual que el conjunto universal.
El complemento de un subconjunto se denota con la misma letra del subconjunto, pero con una comilla colocada en la parte superior de
la letra. Por ejemplo, si tenemos un subconjunto llamado S, su conjunto complemento se llamaría S’.
Ejemplos
1.- Sea el conjunto U = {Todas las letras del alfabeto} y
el conjunto V = {Las vocales del alfabeto},
el cual es un subconjunto propio de U. V ⊂ U
El conjunto complemento de V es: V’ = {Todas las consonantes del
alfabeto}
Si hacemos la unión V con V’, obtenemos el
conjunto universal:
VUV’ = {Las vocales
del alfabeto} U {Todas las
consonantes del alfabeto} =
VUV’
= {Todas las letras del alfabeto}
2.- Sea el conjunto U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} y
el conjunto P = {2,3,5,7},
el cual es un subconjunto propio de U. P ⊂ U
El conjunto
complemento de P es: P’ = {1,4,6,8,9}
Gráfica
de un conjunto.
Uno o más conjuntos pueden representarse en forma
gráfica y también las relaciones que guardan entre ellos, para esto se utilizan
los Diagramas de Venn, llamados así en honor del
matemático inglés John Venn.
En estos diagramas se emplean las figuras geométricas rectángulo y círculo, el primero
representa al conjunto universal o de reemplazamiento, y el segundo a un conjunto determinado. Por
cada conjunto hay un círculo correspondiente, estos se ubican dentro del
rectángulo.
Ejemplos.
1.-
En el diagrama 1, el rectángulo representa un conjunto universal que está formado por los números del 1
al 10, el cual puede escribirse también como:
U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
Dentro del conjunto universal están los conjuntos A y B, los cuales son subconjuntos de U,
cada uno de ellos puede escribirse como:
A = {1,2,3} B = {4,5,6,7}
Los círculos de los
conjuntos A y B están separados
porque no tienen elementos en común, es decir, son conjuntos
disjuntos.
2.-
En el diagrama 2, el rectángulo representa un conjunto universal que está formado por los números del 1
al 12, el cual puede escribirse también como:
U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}
Dentro del conjunto universal están los conjuntos C y D, los cuales son subconjuntos de U,
cada uno de ellos puede escribirse como:
C = {1,2,3,4,6} D =
{2,4,5,6,7}
Los círculos de los conjuntos C y D están sobrepuestos porque tienen elementos en común el 2,4 y 6, estos se muestran en el espacio delimitado por el cruce
de los dos círculos.
Gráfica de las operaciones con
conjuntos.
Unión
de Conjuntos
Ejemplos
1.- Sean los conjuntos G = {i,o,w,a,e} y M = {a,e,b,d,g,c,f}. Realizar la unión
de estos conjuntos y representarla gráficamente.
La unión es: GUM = {i,o,w,a,e}U{a,e,b,d,g,c,f} = {i,o,w,a,e,b,d,g,c,f}
Y la gráfica
correspondiente es:
La unión de los conjuntos G y M está representada por el sombreado. Este punto es importante, el sombreado es el
que indica la operación, si no lo realizamos, aunque los elementos
estén bien ubicados en los conjuntos, el diagrama estará representando únicamente
la gráfica de los conjuntos.
2.- Realizar la gráfica de la unión
de los conjuntos;
P = {11,13,15,17,19}
y Q =
{12,14,16,18,20}
La unión es: PUQ = {11,13,15,17,19}U{12,14,16,18,20}
PUQ = {11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}
Intersección de conjuntos
Ejemplos
1.- Sean los conjuntos G = {i,o,w,a,e} y M =
{a,e,b,d,g,c,f}. Realizar la intersección de estos conjuntos y
representarla gráficamente.
La intersección es: G∩M = {i,o,w,a,e}∩{a,e,b,d,g,c,f} = {a,e}
Los elementos que se repiten son la a y la e.
Y la gráfica correspondiente muestra en el sombreado esta operación.
:
2.- Realizar la
intersección de los conjuntos B =
{2,3,4,5} y C = {4,5,6,7}.
La intersección es: B∩C = {2,3,4,5}∩{4,5,6,7} = {4,5}
Y la gráfica
correspondiente es:
Complemento de un conjunto
Ejemplos.
1.- Considere el
conjunto universal U =
{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} y el subconjunto propio de U, B = {2,3,4,5}.
Determine el conjunto complemento de B
y su gráfica correspondiente.
El conjunto complemento de B se denota con B’ y se
forma con los elementos que le faltan a B
para ser igual que el conjunto universal, y es: B’ = {1,6,7,8,9,10}.
El diagrama
correspondiente a B’ es:
2.- Sean los conjuntos G = {i,o,w,a,e} y M =
{a,e,b,d,g,c,f}.
Los cuales son subconjuntos
propios de U =
{a,e,i,o,u,b,c,d,f,g,w,x,y,z} . Realizar el conjunto complemento de la
intersección de G y M, y representarlo gráficamente.
En este caso vamos a realizar más de una operación,
por lo que es conveniente indicar el orden en que se realizan utilizando
paréntesis. Recordemos que en una operación matemática, los paréntesis denotan
prioridad, lo que debe realizarse primero.
La intersección de G y M la simbolizamos
como: G∩M
El complemento de la intersección de G y M lo simbolizamos como: (G∩M)’
La
intersección es: G∩M = {i,o,w,a,e}∩{a,e,b,d,g,c,f} = {a,e}
Su diagrama es:
El complemento de G∩M es: (G∩M)’
= { i,o,u,b,c,d,f,g,w,x,y,z}
Y el diagrama es: