Preparatoria Abierta - Matemáticas I: Módulo II

Módulo II: Cardinalidad y Clasificación de los Conjuntos


Cardinalidad.- Es la cantidad de elementos que contiene un conjunto, se escribe  simbólicamente como: n (  ) =.
Dentro del paréntesis se escribe la letra del conjunto en estudio.
Ejemplo: Para el conjunto V = {a,e,i,o,u}
Su cardinalidad es 5 y se expresa por n (V)= 5, que se lee: “cardinalidad de V igual a 5”.


CLASIFICACIÓN DE CONJUNTOS

Conjunto finito.- Es aquel del cual podemos saber con certeza y precisión la cantidad de elementos que lo integran, aunque no sea fácil determinar dicha cantidad. Dicho de otra forma, un conjunto finito es aquel del cual podemos determinar su cardinalidad.
Ejemplos:                              
                                               V = {a,e,i,o,u}                 n (V)= 5
                                               B = {2,4,6,8,10,12,14}      n (B)= 7


Conjunto infinito.- Es aquel del cual no podemos saber su cantidad total de elementos, es decir, no podemos determinar su cardinalidad.
Ejemplos:                             
F = {1,3,5,7,9,11,…}         El conjunto F está formado por los números impares desde el uno hasta el infinito, con los puntos suspensivos se indica que los elementos del conjunto se continúan indefinidamente.

G = {2,4,6,8,10,…}           El conjunto G está formado por los números pares desde el dos hasta el infinito.

Conjunto universal.- Es aquel cuyos elementos son tomados como referencia para realizar con ellos ciertas operaciones, equivale al conjunto de reemplazamiento para las oraciones abiertas que se emitan con respecto a él. Se representa comúnmente con la letra U.

Algunos ejemplos de conjuntos universales son:
El conjunto de las letras del alfabeto es el conjunto universal para el conjunto de las vocales.

El conjunto los países del mundo es el conjunto universal para el conjunto los países de América.

Conjunto vacío.- Es aquel que no tiene elementos. Es el que resulta de una oración abierta para la que ningún elemento del conjunto de reemplazamiento la satisface. El conjunto vacío se escribe:
 Ejemplos:
1.- El conjunto de los días de la semana cuyo nombre empieza con vocal.
2.- El conjunto de astronautas que han viajado a Marte.   
.Puesto que conocemos la totalidad de elementos del conjunto vacío, se trata entonces de un conjunto finito.

Conjuntos equivalentes.- Son los que tienen la misma cantidad de elementos sin importar su naturaleza, y por lo tanto, tienen la misma cardinalidad. Entre los elementos de dos conjuntos equivalentes puede establecerse una relación o correspondencia biunívoca, es decir uno a uno.
Ejemplo: Los conjuntos    C = {verde,blanco,rojo}
                                              F = {5,4,3}
son equivalentes, puede establecerse una correspondencia biunívoca entre sus elementos.
C = {verde,blanco,rojo}
        
F = {    5,           4,        3}
Conjuntos iguales.- Dos conjuntos son iguales cuando tienen la misma cardinalidad y los elementos de un conjunto son exactamente los mismos del otro conjunto. De otra forma, se trata de un mismo conjunto expresado de dos maneras distintas.
Ejemplo:
                                    A = {a,e,i,o,u}
                                    B = {e,o,u,a,i}                                   

Dos conjuntos iguales se pueden considerar también conjuntos equivalentes porque tienen la misma cardinalidad, pero dos conjuntos equivalentes no deben considerarse conjuntos iguales porque sus elementos no son los mismos.


PROBLEMAS PARA AUTOEVALUACIÓN I-2
1.- Si llamamos N al conjunto de números naturales.
a) ¿Es N un conjunto infinito?¿Por qué?
Respuesta: N es un conjunto infinito porque siempre habrá un número posterior a aquel hasta el cual hayamos contado.
Respuesta: Un conjunto infinito es aquel del cual no podemos saber la cantidad total de sus elementos.
El conjunto de verdad es P = {1,2,3,4,5,6,7,8}, y contiene 8 elementos, es decir, sabemos exactamente la cantidad de elementos que contiene, por lo tanto, no es un conjunto infinito.
c) La cardinalidad de P será: n (P) = 8
La cardinalidad de un conjunto es la cantidad de elementos que contiene el conjunto.
2.- Para cada conjunto que se nombra marque el cuadro correspondiente según sea finito o infinito.


3.- Sea R = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} Exprese en forma enumerativa los elementos de los conjuntos que se proponen a continuación.

4.- Señale en la casilla correspondiente si el conjunto propuesto es o no vacío.





5.- Mencione la cardinalidad de los siguientes conjuntos completando los espacios.


6.- Considerando que A = {1,2,3}, B = {2,3,5}, C = {3,1,2}.
Complete la oración llenando el espacio en blanco con el símbolo correcto, escogiendo entre =, ≠ (igual, diferente).

Referencias
  • Villegas U. M. y René Z. F. Matemáticas I, preparatoria abierta, primer semestre. México, SEP.
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