Preparatoria Abierta - Matemáticas I: Módulo III

Módulo III: Subconjuntos


Un subconjunto es un conjunto cuyos elementos pertenecen también a otro conjunto, el cual puede ser considerado como conjunto universal del subconjunto. Inclusive un conjunto puede ser subconjunto de sí mismo.

A partir de los elementos de un conjunto universal pueden elaborarse otros conjuntos de menor cardinalidad o incluso de la misma cardinalidad, a estos se les llama subconjuntos.

Cuando la cardinalidad del subconjunto es menor que la del conjunto universal, simbólicamente se expresa con ⊂.

Ejemplos:
Cuando la cardinalidad del subconjunto es igual que la del conjunto universal, simbólicamente se expresa con .

Ejemplo:

Sea M = { a,b,c,d }
El conjunto N = { b,c,d,a } M
Entonces se lee: El conjunto N es subconjunto de M.
Ya no se incluye el término “propio” después de la palabra subconjunto.

Empleando el concepto de subconjunto propio podemos establecer entre los conjuntos un grado de comparación en base a su cardinalidad, ya que:

La cardinalidad de un subconjunto propio siempre será menor que la del conjunto en el cual está incluido o al cual pertenece. O bien,

La cardinalidad del conjunto en el cual está incluido un subconjunto siempre será mayor que la del subconjunto.


Ejemplo:                    

Sean M = { a,b,c,d }                      Cardinalidad de M:       n ( M ) = 4
          L = { a,b,c }                          Cardinalidad de L:        n ( L ) = 3


Puesto que L M, entonces L está contenido en M y M tiene por lo menos un elemento más que L, por lo que podemos afirmar que:

                                    El conjunto M es mayor que el conjunto L
Simbólicamente      M > L

O bien:                      El conjunto L es menor que el conjunto M
Simbólicamente      L < M

O en términos de la cardinalidad:         n ( M ) > n ( L )

           O bien                                            n ( L ) < n ( M )




Ejemplo:
Sean           W = {1,2,3,4,5}          y         Y = {a,e,i}

                   
El conjunto Y no es subconjunto del conjunto W.
Para comparar dos conjuntos cuyos elementos son de diferente naturaleza, no podemos expresar uno de ellos como subconjunto del otro, pero utilizando sus cardinalidades podemos establecer entre ellos una comparación de mayor que, igual o menor que.

Ejemplo:

Sean  K = { r,s,t }                         Cardinalidad de K:       n ( K ) = 3
           M = { a,b,c,d }                   Cardinalidad de M:       n ( M ) = 4

Observamos que                n ( K ) < n ( M ), 
O bien                                  n ( M ) > n ( K )        podemos decir entonces que:

El conjunto K es menor que el conjunto M, o

El conjunto M es mayor que el conjunto K




ALGUNOS SUBCONJUNTOS IMPORTANTES DEL CONJUNTO N


Sabemos que el conjunto N comprende a los números enteros desde el uno hasta el infinito y se escribe como:
N = {1,2,3,4,5,6,…}

Vamos a analizar algunos subconjuntos importantes de N.



Recordando, un múltiplo de un número es otro número que contiene al primero una cantidad exacta de veces.

El primer múltiplo de un número es el mismo número, ya que todo número dividido entre sí mismo es igual a uno, es decir, un número se contiene a sí mismo una vez.

Para encontrar múltiplos de un número basta con multiplicarlo por cualquier otro número.
Ejemplo:
Algunos múltiplos de 4:       4 X 5   = 20
                                            4 X 9   = 36
                                            4 X 15 = 60

Entonces, el 20, el 36 y el 60 son múltiplos de 4 porque lo contienen 5, 9 y 15 veces respectivamente.

Para el conjunto que se solicita, k representa cualquier número que pertenece a N, y este número lo multiplicaremos por los números naturales desde el 1 hasta el infinito, entonces:


Ejemplo:
            El conjunto de los múltiplos de 6 es: {1(6),2(6),3(6),4(6),…} = {6,12,18,24,…}

b) El conjunto de números primos.

Un número primo es el que tiene únicamente dos divisores, él mismo y el uno.

El primer número primo es el 2, es el único número primo par, todos los demás números primos son impares, aunque no todos los impares son primos.

Entonces, el conjunto de los números primos es: { 2,3,5,7,11,13,17,…}

c) El conjunto de números compuestos

Un número compuesto es el que no es primo.

El conjunto solicitado incluye los números pares, con excepción del 2, y los impares que no son primos.

El conjunto de números compuestos es: { 4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,…}

1.- Considerando el conjunto M = {a,b,c,d}, forme un conjunto con todos los subconjuntos de M que tengan:
a) Cardinalidad 4 y llámelo T.                   T = { b,d,a,c}

Aquí podemos formar más subconjuntos T, sin embargo, la cardinalidad sería la misma y lo único que cambiaríamos sería el orden de los elementos, por eso solo ponemos un ejemplo.
b) Cardinalidad 3 y llámelo U.                  U = { { a,b,c }, { a,b,d },{ b,c,d }, { c,d,a }}
c) Cardinalidad 0 y llámelo S.                   S = {  }
d) Cardinalidad 1 y llámelo W                   W = { { a },{ b },{ c }, { d } }



4.- a) ¿Cuál es la cardinalidad del conjunto W del problema 1?
RESPUESTA:          n (W) = 4

     b) ¿Y la del conjunto S?
RESPUESTA:          n (S) = 0

    c) Compare la cardinalidad de W con la de S. Use el símbolo adecuado (>,<) en caso de desigualdad.
RESPUESTA:          n (W) > n (S)

    d) Compare n (T) con n (S).
RESPUESTA:          n (T) > n (S)

    e) Compare n (W) con n (U).
RESPUESTA:          n (W) = n (U)

5.- Establezca la correspondencia biunívoca entre dos conjuntos de modo que demuestre que la cardinalidad del conjunto días de la semana D, es mayor que la del conjunto estaciones del año E.

                                  n (D) = 7                    n (E) = 4

                                                n (D) > n (E)

6.- Escriba si los números siguientes son primos o compuestos, y sin son compuestos escriba de qué números son múltiplos.

Recordemos que:

Número primo es el que tiene únicamente dos divisores, él mismo y el uno (1).

Número compuesto es el que no es primo, puede ser par o impar.

Múltiplo de un número es el que contiene al número cierta cantidad de veces en forma exacta. Todo número es múltiplo de sí mismo.

7.- Realice la factorización completa, es decir, descomponga en sus factores primos los siguientes números:
Factorizar significa descomponer en factores, los cuales al multiplicarlos entre sí nos devuelven el número que se está factorizando.


Referencias

  • Villegas U. M. y René Z. F. Matemáticas I, preparatoria abierta, primer semestre. México, SEP.
Share:

0 comentarios:

Publicar un comentario

Seguidores

Seguir por Email

Translate

Páginas vistas en total