Preparatoria Abierta - Matemáticas I: Módulo I

Módulo I: Conjuntos

Conjunto.- Es una colección de ideas u objetos definidos de tal forma que podemos decir que forman parte o pertenecen a ese conjunto.

Las ideas u objetos que forman el conjunto se llaman elementos.

Los conjuntos se nombran con una letra mayúscula cualquiera y los elementos con minúsculas.

Ejemplos

1.- El conjunto de las vocales se escribe y simboliza:

2.- El conjunto de las estaciones del año se escribe y simboliza:

La forma (I) recibe el nombre de enumerativa o de extensión, porque se mencionan cada uno de los elementos que forman el conjunto.

La forma (II) se llama por comprensión o por descripción, para muchos casos, esta es la más conveniente y práctica o la única posible.

Otros ejemplos de esta forma:

Pertenencia y no pertenencia

Ejemplos:

Notación general para elaborar conjuntos

Basada en la forma por descripción o por comprensión, existe una notación general que nos permite elaborar conjuntos. Esta notación utiliza una variable, la más común es la letra x, la cual va a tomar un valor o un nombre específico que cumpla la condición indicada.

Lo cual se lee: “El conjunto E está formado por elementos x, tales que x sea una estación del año”. La línea vertical se lee “tal que”.

Puesto que existen cuatro estaciones del año, la variable x, puede tomar una o todas ellas, es decir, podrá variar hasta cuatro veces.

La condición: “x sea una estación del año” es llamada oración abierta.

Una oración abierta es aquella en la que interviene una variable, y puede ser verdadera o falsa, depende del valor que adopte la variable.

Al conjunto del cual se obtienen los valores que adopta la variable x, se le llama conjunto de reemplazamiento.

Cuando se emplea la notación para elaborar conjuntos, se debe indicar también el conjunto de reemplazamiento.

Así, en este ejemplo, se está solicitando un conjunto de nombre E formado por elementos x que sean números, los cuales deben elegirse del conjunto de reemplazamiento A.

Al conjunto formado por los elementos seleccionados del conjunto de reemplazamiento que hacen verdadera la oración abierta, se le llama conjunto de verdad.

Entonces, para nuestro ejemplo, el conjunto de verdad para la oración abierta es:

E = {3,2}

PROBLEMAS PARA AUTOEVALUACIÓN I-1

1.- Completar los espacios siguientes con la palabra adecuada.

a) A un conjunto de jugadores de beisbol se le llama novena.

Un equipo de beisbol juega con nueve integrantes en el terreno de juego.

b) A un conjunto formado por tres guitarristas se le llama trío.

c) A un conjunto de monedas antiguas se le llama colección.

d) Un grupo de alumnos que termina una carrera profesional se denomina generación.

e) Una sala que reúne una gran variedad de libros forma una biblioteca.

f) La reunión de soldados de un país forma un ejército.

2.- Marque en la casilla correspondiente su respuesta.

F = {Clavel, rosa, perfume, violeta, gardenia}

3.- Explique por qué considera que el conjunto F está bien definido.

Porque esos elementos están enumerados y definidos para ese conjunto.

5.- Sea R el conjunto de los meses del año que tienen la letra “r” en su nombre. Marque la casilla que indique la respuesta correcta.

6.- Sea M = {1,2,3,4,5,6} el conjunto de reemplazamiento. Determine el conjunto de verdad que corresponda a cada conjunto que se da en la notación para construir conjuntos o descripción. Use la forma enumerativa.

7.- En los siguientes problemas se dan conjuntos usando la forma enumerativa, cámbielos a la forma descriptiva usando sus palabras para la condición.

a) A= {Tamaulipas, Veracruz, Tabasco, Campeche, Yucatán, Quintana Roo}

Forma descriptiva

A= {Estados de la República Mexicana de la costa del Golfo de México y del Mar Caribe}

b) E = {1,2,3,4,5,6}

Forma descriptiva

E = {Los números naturales del uno al seis}, o bien:

E = {Los números naturales menores que 7}

NOTA: El conjunto de los números naturales es un conjunto infinito, está formado por los números: 1,2,3,4,5,….

Su notación en conjuntos es: N = {1,2,3,4,5,…}

Referencias

• Villegas U. M. y René Z. F. Matemáticas I, preparatoria abierta, primer semestre. México, SEP.