Preparatoria Abierta - Matemáticas I: Módulo I

Módulo I: Conjuntos


Conjunto.- Es una colección de ideas u objetos definidos de tal forma que podemos decir que forman parte o pertenecen a ese conjunto.

Las ideas u objetos que forman el conjunto se llaman elementos.

Los conjuntos se nombran con una letra mayúscula cualquiera y los elementos con minúsculas.
Ejemplos
1.- El conjunto de las vocales se escribe y simboliza:


2.- El conjunto de las estaciones del año se escribe y simboliza:


La forma (I) recibe el nombre de enumerativa o de extensión, porque se mencionan cada uno de los elementos que forman el conjunto.


La forma (II) se llama por comprensión o por descripción, para muchos casos, esta es la más conveniente y práctica o la única posible.

Otros ejemplos de esta forma:


Pertenencia y no pertenencia

Ejemplos:

Notación general para elaborar conjuntos

Basada en la forma por descripción o por comprensión, existe una notación general que nos permite elaborar conjuntos. Esta notación utiliza una variable, la más común es la letra x, la cual va a tomar un valor o un nombre específico que cumpla la condición indicada.


Lo cual se lee: “El conjunto E está formado por elementos x, tales que x sea una estación del año”. La línea vertical se lee “tal que”.

Puesto que existen cuatro estaciones del año, la variable x, puede tomar una o todas ellas, es decir, podrá variar hasta cuatro veces.

La condición: “x sea una estación del año” es llamada oración abierta.

Una oración abierta es aquella en la que interviene una variable, y puede ser verdadera o falsa, depende del valor que adopte la variable.

Al conjunto del cual se obtienen los valores que adopta la variable x, se le llama conjunto de reemplazamiento.

Cuando se emplea la notación para elaborar conjuntos, se debe indicar también el conjunto de reemplazamiento.

Así, en este ejemplo, se está solicitando un conjunto de nombre E formado por elementos x que sean números, los cuales deben elegirse del conjunto de reemplazamiento A.

Al conjunto formado por los elementos seleccionados del conjunto de reemplazamiento que hacen verdadera la oración abierta, se le llama conjunto de verdad.
Entonces, para nuestro ejemplo, el conjunto de verdad para la oración abierta es:

E = {3,2}

PROBLEMAS PARA AUTOEVALUACIÓN I-1
1.- Completar los espacios siguientes con la palabra adecuada.
a) A un conjunto de jugadores de beisbol se le llama novena.
Un equipo de beisbol juega con nueve integrantes en el terreno de juego.
b) A un conjunto formado por tres guitarristas se le llama trío.
c) A un conjunto de monedas antiguas se le llama colección.
d) Un grupo de alumnos que termina una carrera profesional se denomina generación.
e) Una sala que reúne una gran variedad de libros forma una biblioteca.
f) La reunión de soldados de un país forma un ejército.
2.- Marque en la casilla correspondiente su respuesta.
F = {Clavel, rosa, perfume, violeta, gardenia}
3.- Explique por qué considera que el conjunto F está bien definido.
Porque esos elementos están enumerados y definidos para ese conjunto.



5.- Sea R el conjunto de los meses del año que tienen la letra “r” en su nombre. Marque la casilla que indique la respuesta correcta.
6.- Sea M = {1,2,3,4,5,6} el conjunto de reemplazamiento. Determine el conjunto de verdad que corresponda a cada conjunto que se da en la notación para construir conjuntos o descripción. Use la forma enumerativa.
7.- En los siguientes problemas se dan conjuntos usando la forma enumerativa, cámbielos a la forma descriptiva usando sus palabras para la condición.
a) A= {Tamaulipas, Veracruz, Tabasco, Campeche, Yucatán, Quintana Roo}

Forma descriptiva
A= {Estados de la República Mexicana de la costa del Golfo de México y del Mar Caribe}

b) E = {1,2,3,4,5,6}
Forma descriptiva
E = {Los números naturales del uno al seis}, o bien:
E = {Los números naturales menores que 7}
NOTA: El conjunto de los números naturales es un conjunto infinito, está formado por los números: 1,2,3,4,5,….
Su notación en conjuntos es: N = {1,2,3,4,5,…}

Referencias
  • Villegas U. M. y René Z. F. Matemáticas I, preparatoria abierta, primer semestre. México, SEP.
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Preparatoria Abierta - Matemáticas I: Módulo II

Módulo II: Cardinalidad y Clasificación de los Conjuntos


Cardinalidad.- Es la cantidad de elementos que contiene un conjunto, se escribe  simbólicamente como: n (  ) =.
Dentro del paréntesis se escribe la letra del conjunto en estudio.
Ejemplo: Para el conjunto V = {a,e,i,o,u}
Su cardinalidad es 5 y se expresa por n (V)= 5, que se lee: “cardinalidad de V igual a 5”.


CLASIFICACIÓN DE CONJUNTOS

Conjunto finito.- Es aquel del cual podemos saber con certeza y precisión la cantidad de elementos que lo integran, aunque no sea fácil determinar dicha cantidad. Dicho de otra forma, un conjunto finito es aquel del cual podemos determinar su cardinalidad.
Ejemplos:                              
                                               V = {a,e,i,o,u}                 n (V)= 5
                                               B = {2,4,6,8,10,12,14}      n (B)= 7


Conjunto infinito.- Es aquel del cual no podemos saber su cantidad total de elementos, es decir, no podemos determinar su cardinalidad.
Ejemplos:                             
F = {1,3,5,7,9,11,…}         El conjunto F está formado por los números impares desde el uno hasta el infinito, con los puntos suspensivos se indica que los elementos del conjunto se continúan indefinidamente.

G = {2,4,6,8,10,…}           El conjunto G está formado por los números pares desde el dos hasta el infinito.

Conjunto universal.- Es aquel cuyos elementos son tomados como referencia para realizar con ellos ciertas operaciones, equivale al conjunto de reemplazamiento para las oraciones abiertas que se emitan con respecto a él. Se representa comúnmente con la letra U.

Algunos ejemplos de conjuntos universales son:
El conjunto de las letras del alfabeto es el conjunto universal para el conjunto de las vocales.

El conjunto los países del mundo es el conjunto universal para el conjunto los países de América.

Conjunto vacío.- Es aquel que no tiene elementos. Es el que resulta de una oración abierta para la que ningún elemento del conjunto de reemplazamiento la satisface. El conjunto vacío se escribe:
 Ejemplos:
1.- El conjunto de los días de la semana cuyo nombre empieza con vocal.
2.- El conjunto de astronautas que han viajado a Marte.   
.Puesto que conocemos la totalidad de elementos del conjunto vacío, se trata entonces de un conjunto finito.

Conjuntos equivalentes.- Son los que tienen la misma cantidad de elementos sin importar su naturaleza, y por lo tanto, tienen la misma cardinalidad. Entre los elementos de dos conjuntos equivalentes puede establecerse una relación o correspondencia biunívoca, es decir uno a uno.
Ejemplo: Los conjuntos    C = {verde,blanco,rojo}
                                              F = {5,4,3}
son equivalentes, puede establecerse una correspondencia biunívoca entre sus elementos.
C = {verde,blanco,rojo}
        
F = {    5,           4,        3}
Conjuntos iguales.- Dos conjuntos son iguales cuando tienen la misma cardinalidad y los elementos de un conjunto son exactamente los mismos del otro conjunto. De otra forma, se trata de un mismo conjunto expresado de dos maneras distintas.
Ejemplo:
                                    A = {a,e,i,o,u}
                                    B = {e,o,u,a,i}                                   

Dos conjuntos iguales se pueden considerar también conjuntos equivalentes porque tienen la misma cardinalidad, pero dos conjuntos equivalentes no deben considerarse conjuntos iguales porque sus elementos no son los mismos.


PROBLEMAS PARA AUTOEVALUACIÓN I-2
1.- Si llamamos N al conjunto de números naturales.
a) ¿Es N un conjunto infinito?¿Por qué?
Respuesta: N es un conjunto infinito porque siempre habrá un número posterior a aquel hasta el cual hayamos contado.
Respuesta: Un conjunto infinito es aquel del cual no podemos saber la cantidad total de sus elementos.
El conjunto de verdad es P = {1,2,3,4,5,6,7,8}, y contiene 8 elementos, es decir, sabemos exactamente la cantidad de elementos que contiene, por lo tanto, no es un conjunto infinito.
c) La cardinalidad de P será: n (P) = 8
La cardinalidad de un conjunto es la cantidad de elementos que contiene el conjunto.
2.- Para cada conjunto que se nombra marque el cuadro correspondiente según sea finito o infinito.


3.- Sea R = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} Exprese en forma enumerativa los elementos de los conjuntos que se proponen a continuación.

4.- Señale en la casilla correspondiente si el conjunto propuesto es o no vacío.





5.- Mencione la cardinalidad de los siguientes conjuntos completando los espacios.


6.- Considerando que A = {1,2,3}, B = {2,3,5}, C = {3,1,2}.
Complete la oración llenando el espacio en blanco con el símbolo correcto, escogiendo entre =, ≠ (igual, diferente).

Referencias
  • Villegas U. M. y René Z. F. Matemáticas I, preparatoria abierta, primer semestre. México, SEP.
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Curso: Laboratorio de Química General

Curso: Laboratorio de Química General

Este curso de Laboratorio de Química General está dirigido a estudiantes de Nivel Medio o Superior, como parte del tronco común de un programa de Ingeniería, aunque también se efectuarán algunas prácticas ideales para Nivel Básico; de este modo, todas las ya mencionadas estarán realizadas acorde a una metodología de tipo escolar o educativa.

Figura 1. Materiales de vidrio de laboratorio.
 Contenido
1.Introducción
    • Organización de la infromación
    • Clasificación de sustancias en un laboratorio 
    • Materiales de Laboratorio
      • Vidrio
      • Metal
      • Plástico
      • Porcelana
      • Material Pesado
2. Prácticas
MiniEnciclopedia de Química
MiniEnciclopedia de Química
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Introducción al Laboratorio de Química General

Introducción al Laboratorio de Química General

El Laboratorio de Química es un espacio destinado para realizar prácticas e investigaciones científicas, donde se pone a prueba la teoría y se obtienen datos para su posterior análisis e interpretación; a partir de lo anterior se elaboran reportes e informes. Así, el laboratorio cuenta con las instalaciones y herramientas necesarias para manipulación de sustancias y reactivos, haciendo esto de manera eficaz y segura. 

Figura 1. Materiales de laboratorio.

1. Clasificación de los laboratorios

Dentro de un laboratorio se llega a trabajar y realizar prácticas con diferentes microorganismos, es por ello que se deben tomar ciertas medidas de seguridad para evitar infecciones entre los mismos laboratoristas. De este modo, de acuerdo al tipo y peligro de los organismos que se manejen, los laboratorios se dividen en 4 niveles de bioseguridad.
Figura 2. Niveles de Bioseguridad de los laboratorios.
Los laboratorios Nivel 1 se encuentran en Escuelas Secundarias, de Educación Media y algunas de tipo Superior, aunque es más común encontrar Laboratorios Nivel 2 en estas últimas. En cambio los de Nivel 3 y 4 son más especializados y se encuentran en compañías privadas y gubernamentales, centros de investigación y departamentos de salud. Por lo tanto, en la entrada de estos se debe encontrar una señal que indique que se está trabajando con microorganismos peligrosos, tal y como se muestra en la Figura 3.

Figura 3. Señal de Bioseguridad ubicada fuera de un laboratorio [1].
Para las prácticas que se realizarán en este curso, serán necesarios solamente laboratorios Nivel 1 y Nivel 2, en caso de requerirse este último, se indicará al comienzo de cada actividad si será necesario el uso de cabinas de seguridad biológica.
Figura 4. Laboratorios básicos [2].
2. Normas generales de seguridad

A la hora de trabajar en un laboratorio la seguridad es lo más importante, por lo que, para un laboratorio Nivel 1 y 2, es obligatorio el uso del siguiente equipo:
  • Bata blanca de laboratorio (cerrada o abrochada): el uso de esta ayuda a protegerse en caso de entrar en contacto con alguna sustancia, el que sea de color blanco ayuda a identificar más rápido algún cambio en la coloración de la prenda.
  • Lentes de seguridad: para evitar la entrada de algún reactivo o sustancia a los ojos. En caso de que el estudiante o laboratorista use ya lentes con graduación, no será necesario conseguir los de seguridad.
También cuando la práctica lo requiera:
  • Guantes de nitrilo: hechos a base de látex sintético, es muy resistente a productos químicos y a la punción, ideal para todo tipo de piel. 
  • Cubrebocas o tapabocas: es de gran utilidad para evitar la contaminación microbiológica  de alguna muestra que se esté manipulando.
Figura 5.  Uso de equipo de seguridad.
Además, también es de gran importancia:
  • Usar zapatos cerrados y pantalones largos: para evitar dejar zonas descubiertas de piel donde pueda llegar a caer algún reactivo. Por lo que el uso de zapatos abiertos, short, falda o vestido quedan prohibidos dentro del laboratorio por cuestiones de seguridad.
  • Evitar el uso de pulseras, anillos y uñas largas: esto evitará complicaciones a la hora de manipular elementos.
  • Recoger el cabello largo o usar cofia: para no contaminar muestras y permite una mayor movilidad en el espacio de trabajo, además de que reduce las posibilidades de que el cabello entre en contacto con alguna sustancia corrosiva o inflamable. 
  • Acatar las instrucciones del profesor en todo momento: ya sea para el uso de sustancias o de equipo especializado, así como respetar y seguir la organización que este disponga.

NOTA: El alumno debe ponerse la bata antes de entrar al laboratorio y solo debe quitársela fuera de este, al salir.
 

3. Trabajo en el laboratorio

Durante un curso escolar de laboratorio de química los alumnos tendrán que trabajar en equipo, por lo que es importante que se seleccione a un líder o representante ante el profesor; además de resaltar el trabajo colaborativo como una prioridad, todos los integrantes deben participar activamente. 

Figura 6. Trabajo en equipo.
Competencias:
  • Trabajo en equipo, liderazgo y desarollo de habilidades interpersonales.
  • Capacidad de organización y planeación colaborativa de actividades.
  • Habilidades de investigación y análisis de información.
  • Interpretación de datos y observaciones a partir de información científica.
  • Manejo de Tecnologías de la Información y Comunicación (TIC).
  • Toma de decisiones antes, durante y después de una actividad colaborativa.
  • Solución de problemas reales con propuestas prácticas.
  • Comunicación de resultados y conclusiones de manera oral y escrita.

A. Características generales del laboratorio

Los alumnos deben familiarizarse con las áreas dentro del laboratorio para trabajar de manera eficaz y en caso de alguna emergencia, saber a dónde dirigirse y cómo actuar. Por ello, es importante conocer las características generales del lugar donde se estará trabajando. Así, los laboratorios son espacios de fácil acceso y desplazamiento, con buena iluminación y ventilación que cuentan con un gran espacio de trabajo y una zona anexa para para guardar materiales, sustancias y equipos específicos.
Figura 7. Mesa de trabajo y cabina de seguridad biológica [4].
  • Mesas de trabajo y Cabinas de Seguridad Biológica: Tanto las mesas como las cabinas de seguridad, en caso de los laboratorios Nivel 2, deben permitir a los alumnos trabajar de pie o en bancos con una altura adecuada. Además, deben contar con instalaciones eléctricas, de gas y de agua principalmente; aunque también pueden contar con conductos de aire, vacío y ácido. Todos los conductos y llaves identificables mediante un código de colores, como se muestra en la Figura 8.
Figura 8. Código de colores de conductos de un laboratorio.
Además el laboratorio debe contar con:
  • Pizarrón: al frente y de lado al área del profesor, visible para todas las mesas de trabajo.
  • Lavabos: ubicados por lo general al final de las mesas de trabajo (ver Figura 7) o de lado de una pared para el lavado de material.
  • Dispensador de toallas de papel: para usos múltiples.
  • Botes de basura: de preferencia con división orgánica e inorgánica.
  • Depósitos para desechos químicos: debidamente etiquetados para identificar dónde depositar cada clase de residuos. 
  • Extintores: con carga vigente.
  • Botiquín de emergencias: con material de primeros auxilios, ubicado en un lugar de fácil acceso y visible para todos.
  • Regadera de presión: para emergencias de salpicaduras o derrames de productos químicos sobre las personas, sale agua potable a una temperatura media.
  • Señales de seguridad y evacuación: dan indicaciones para tomar precauciones y sirven para ubicar los elementos ya enlistados.
Figura 9. Principales señales de seguridad en un laboratorio.
B. Caja de herramientas

Es recomendable que cada equipo cuente con una Caja de Herramientas, que contenga material dinámico que pueda llegar a ser de utilidad en toda práctica. Entre los elementos recomendados están:
  • Lentes de seguridad para cada integrante
  • Paquete de guantes de nitrilo
  • Paquete de cubrebocas
  • Paquete de cofias 
  • Ligas para cabello 
  • Tijeras
  • Cinta Masking Tape
  • Marcador indeleble negro
  • Hilo
  • Alambre de cobre
  • Encendedor
  • Franela roja
Si el laboratorio cuenta con un espacio destinado a guardar pertenencias de los alumnos, se podrá dejar ahí la caja de herramientas debidamente etiquetada, en caso contrario, deberán llevarla en cada sesión.
Figura 10. Caja de herramientas.

C. Limpieza del área de trabajo y del material

  • Inicio de la práctica: los alumnos deben llegar usando su bata, revisando que su área de trabajo asignada esté limpia y el material entregado también lo esté, así como en buenas condiciones; en caso contrario, notificar al profesor. Por otro lado, las mochilas y demás pertenencias de los estudiantes no deben obstruir los pasillos y el área para trabajar. También deben tener a la mano su caja de herramientas y usar el debido equipo de seguridad para la práctica.
  • Finalización de la práctica: se debe  limpiar todo el material utilizado, pues se debe entregar limpio, seco y en excelentes condiciones, así como fue entregado al empezar la actividad en el laboratorio. Del mismo modo, el área de trabajo debe dejarse sin residuos de ningún tipo, depositando todos estos en sus respectivos recipientes de desecho.
Figura 11. Limpieza del material.

4. Referencias


5. Para citar este artículo

Curso: Laboratorio de Química General
Curso: Laboratorio de Química General
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Preparatoria Abierta - Matemáticas I: Módulo III

Módulo III: Subconjuntos


Un subconjunto es un conjunto cuyos elementos pertenecen también a otro conjunto, el cual puede ser considerado como conjunto universal del subconjunto. Inclusive un conjunto puede ser subconjunto de sí mismo.

A partir de los elementos de un conjunto universal pueden elaborarse otros conjuntos de menor cardinalidad o incluso de la misma cardinalidad, a estos se les llama subconjuntos.

Cuando la cardinalidad del subconjunto es menor que la del conjunto universal, simbólicamente se expresa con ⊂.

Ejemplos:
Cuando la cardinalidad del subconjunto es igual que la del conjunto universal, simbólicamente se expresa con .

Ejemplo:

Sea M = { a,b,c,d }
El conjunto N = { b,c,d,a } M
Entonces se lee: El conjunto N es subconjunto de M.
Ya no se incluye el término “propio” después de la palabra subconjunto.

Empleando el concepto de subconjunto propio podemos establecer entre los conjuntos un grado de comparación en base a su cardinalidad, ya que:

La cardinalidad de un subconjunto propio siempre será menor que la del conjunto en el cual está incluido o al cual pertenece. O bien,

La cardinalidad del conjunto en el cual está incluido un subconjunto siempre será mayor que la del subconjunto.


Ejemplo:                    

Sean M = { a,b,c,d }                      Cardinalidad de M:       n ( M ) = 4
          L = { a,b,c }                          Cardinalidad de L:        n ( L ) = 3


Puesto que L M, entonces L está contenido en M y M tiene por lo menos un elemento más que L, por lo que podemos afirmar que:

                                    El conjunto M es mayor que el conjunto L
Simbólicamente      M > L

O bien:                      El conjunto L es menor que el conjunto M
Simbólicamente      L < M

O en términos de la cardinalidad:         n ( M ) > n ( L )

           O bien                                            n ( L ) < n ( M )




Ejemplo:
Sean           W = {1,2,3,4,5}          y         Y = {a,e,i}

                   
El conjunto Y no es subconjunto del conjunto W.
Para comparar dos conjuntos cuyos elementos son de diferente naturaleza, no podemos expresar uno de ellos como subconjunto del otro, pero utilizando sus cardinalidades podemos establecer entre ellos una comparación de mayor que, igual o menor que.

Ejemplo:

Sean  K = { r,s,t }                         Cardinalidad de K:       n ( K ) = 3
           M = { a,b,c,d }                   Cardinalidad de M:       n ( M ) = 4

Observamos que                n ( K ) < n ( M ), 
O bien                                  n ( M ) > n ( K )        podemos decir entonces que:

El conjunto K es menor que el conjunto M, o

El conjunto M es mayor que el conjunto K




ALGUNOS SUBCONJUNTOS IMPORTANTES DEL CONJUNTO N


Sabemos que el conjunto N comprende a los números enteros desde el uno hasta el infinito y se escribe como:
N = {1,2,3,4,5,6,…}

Vamos a analizar algunos subconjuntos importantes de N.



Recordando, un múltiplo de un número es otro número que contiene al primero una cantidad exacta de veces.

El primer múltiplo de un número es el mismo número, ya que todo número dividido entre sí mismo es igual a uno, es decir, un número se contiene a sí mismo una vez.

Para encontrar múltiplos de un número basta con multiplicarlo por cualquier otro número.
Ejemplo:
Algunos múltiplos de 4:       4 X 5   = 20
                                            4 X 9   = 36
                                            4 X 15 = 60

Entonces, el 20, el 36 y el 60 son múltiplos de 4 porque lo contienen 5, 9 y 15 veces respectivamente.

Para el conjunto que se solicita, k representa cualquier número que pertenece a N, y este número lo multiplicaremos por los números naturales desde el 1 hasta el infinito, entonces:


Ejemplo:
            El conjunto de los múltiplos de 6 es: {1(6),2(6),3(6),4(6),…} = {6,12,18,24,…}

b) El conjunto de números primos.

Un número primo es el que tiene únicamente dos divisores, él mismo y el uno.

El primer número primo es el 2, es el único número primo par, todos los demás números primos son impares, aunque no todos los impares son primos.

Entonces, el conjunto de los números primos es: { 2,3,5,7,11,13,17,…}

c) El conjunto de números compuestos

Un número compuesto es el que no es primo.

El conjunto solicitado incluye los números pares, con excepción del 2, y los impares que no son primos.

El conjunto de números compuestos es: { 4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,…}

1.- Considerando el conjunto M = {a,b,c,d}, forme un conjunto con todos los subconjuntos de M que tengan:
a) Cardinalidad 4 y llámelo T.                   T = { b,d,a,c}

Aquí podemos formar más subconjuntos T, sin embargo, la cardinalidad sería la misma y lo único que cambiaríamos sería el orden de los elementos, por eso solo ponemos un ejemplo.
b) Cardinalidad 3 y llámelo U.                  U = { { a,b,c }, { a,b,d },{ b,c,d }, { c,d,a }}
c) Cardinalidad 0 y llámelo S.                   S = {  }
d) Cardinalidad 1 y llámelo W                   W = { { a },{ b },{ c }, { d } }



4.- a) ¿Cuál es la cardinalidad del conjunto W del problema 1?
RESPUESTA:          n (W) = 4

     b) ¿Y la del conjunto S?
RESPUESTA:          n (S) = 0

    c) Compare la cardinalidad de W con la de S. Use el símbolo adecuado (>,<) en caso de desigualdad.
RESPUESTA:          n (W) > n (S)

    d) Compare n (T) con n (S).
RESPUESTA:          n (T) > n (S)

    e) Compare n (W) con n (U).
RESPUESTA:          n (W) = n (U)

5.- Establezca la correspondencia biunívoca entre dos conjuntos de modo que demuestre que la cardinalidad del conjunto días de la semana D, es mayor que la del conjunto estaciones del año E.

                                  n (D) = 7                    n (E) = 4

                                                n (D) > n (E)

6.- Escriba si los números siguientes son primos o compuestos, y sin son compuestos escriba de qué números son múltiplos.

Recordemos que:

Número primo es el que tiene únicamente dos divisores, él mismo y el uno (1).

Número compuesto es el que no es primo, puede ser par o impar.

Múltiplo de un número es el que contiene al número cierta cantidad de veces en forma exacta. Todo número es múltiplo de sí mismo.

7.- Realice la factorización completa, es decir, descomponga en sus factores primos los siguientes números:
Factorizar significa descomponer en factores, los cuales al multiplicarlos entre sí nos devuelven el número que se está factorizando.


Referencias

  • Villegas U. M. y René Z. F. Matemáticas I, preparatoria abierta, primer semestre. México, SEP.
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