Preparatoria Abierta Matemáticas I Módulo IV

MATEMÁTICAS I    MÓDULO IV             OPERACIONES CON CONJUNTOS

Unión de conjuntos: Consiste en obtener un conjunto con todos los elementos de dos o más conjuntos, si existen elementos comunes (repetidos) en los conjuntos iniciales se escriben una sola vez en el conjunto resultante. La unión de conjuntos se simboliza con U.

Ejemplos

1.- Sean los conjuntos A = {2,4,6,8,10}       y      B = {1,2,3,4,5,6}

La unión de estos conjuntos se denota así:

AUB = {2,4,6,8,10} U {1,2,3,4,5,6} = {1,2,3,4,5,6,8,10}

Los elementos repetidos 2,4,6, se escriben una sola vez.

2.- Sean los conjuntos C = {a,e,i,o,u}      y         D = {b,c,d,f,g}

La unión de estos conjuntos se denota así:

CUD = {a,e,i,o,u} U {b,c,d,f,g} = {a,b,c,d,e,f,g,i,o,u}

En este caso, no hay elementos repetidos.

Intersección de conjuntos: Consiste en obtener un conjunto con los elementos que son comunes a dos o más conjuntos, es decir, el conjunto resultante está formado por los elementos repetidos en los conjuntos iniciales. La intersección de conjuntos se simboliza con ∩.

Ejemplos

1.- Sean los conjuntos F = {2,4,6,8,10}       y      G = {1,2,3,4,5,6}

Los elementos 2,4,6 están en ambos conjuntos y con estos se forma el conjunto resultante.

La intersección de estos conjuntos se denota así:

          F∩G = {2,4,6,8,10} ∩ {1,2,3,4,5,6} = {2,4,6}

2.- Sean los conjuntos H = {3,6,9,12,15}             y          J = {1,2,4,8,10}

En este caso no hay elementos comunes a los dos conjuntos.

Los conjuntos que no tienen elementos en común se llaman conjuntos disjuntos.

La intersección de dos o más conjuntos disjuntos, como H y J, es el conjunto vacío, es decir, un conjunto que no tiene elementos.

La intersección de estos conjuntos se denota así:

                                     H∩J = {3,6,9,12,15} ∩ {1,2,4,8,10} = { }

Complemento de un subconjunto: Es un conjunto cuyos elementos son los que le faltan al subconjunto para ser igual que el conjunto universal.

El complemento de un subconjunto se denota con la misma letra del subconjunto, pero con una comilla colocada en la parte superior de la letra. Por ejemplo, si tenemos un subconjunto llamado S, su conjunto complemento se llamaría S’.

Ejemplos

1.- Sea el conjunto U = {Todas las letras del alfabeto}         y

             el conjunto V = {Las vocales del alfabeto},

  el cual es un subconjunto propio de U.              V ⊂ U

El conjunto complemento de V es: V’ = {Todas las consonantes del alfabeto}

Si hacemos la unión V con V’, obtenemos el conjunto universal:

VUV’ = {Las vocales del alfabeto} U {Todas las consonantes del alfabeto} =

VUV’ = {Todas las letras del alfabeto}

2.- Sea el conjunto U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}               y

  el conjunto P = {2,3,5,7},

  el cual es un subconjunto propio de U.              P ⊂ U

El conjunto complemento de P es: P’ = {1,4,6,8,9}

Gráfica de un conjunto.

Uno o más conjuntos pueden representarse en forma gráfica y también las relaciones que guardan entre ellos, para esto se utilizan los Diagramas de Venn, llamados así en honor del matemático inglés John Venn.

En estos diagramas se emplean las figuras geométricas rectángulo y círculo, el primero representa al conjunto universal o de reemplazamiento, y el segundo a un conjunto determinado. Por cada conjunto hay un círculo correspondiente, estos se ubican dentro del rectángulo.

Ejemplos.

1.- 

En el diagrama 1, el rectángulo representa un conjunto universal que está formado por los números del 1 al 10, el cual puede escribirse también como:

U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

Dentro del conjunto universal están los conjuntos A y B, los cuales son subconjuntos de U, cada uno de ellos puede escribirse como:

A = {1,2,3}                               B = {4,5,6,7}

Los círculos de los conjuntos A y B están separados porque no tienen elementos en común, es decir, son conjuntos disjuntos.

2.-

En el diagrama 2, el rectángulo representa un conjunto universal que está formado por los números del 1 al 12, el cual puede escribirse también como:

U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}

Dentro del conjunto universal están los conjuntos C y D, los cuales son subconjuntos de U, cada uno de ellos puede escribirse como:

C = {1,2,3,4,6}                     D = {2,4,5,6,7}

Los círculos de los conjuntos C y D están sobrepuestos porque tienen elementos en común el 2,4 y 6, estos se muestran en el espacio delimitado por el cruce de los dos círculos.

Gráfica de las operaciones con conjuntos.

Unión de Conjuntos

Ejemplos

1.- Sean los conjuntos G = {i,o,w,a,e}     y    M = {a,e,b,d,g,c,f}. Realizar la unión de estos conjuntos y representarla gráficamente.

La unión es:              GUM = {i,o,w,a,e}U{a,e,b,d,g,c,f} = {i,o,w,a,e,b,d,g,c,f}

Y la gráfica correspondiente es:

La unión de los conjuntos G y M está representada por el sombreado. Este punto es importante, el sombreado es el que indica la operación, si no lo realizamos, aunque los elementos estén bien ubicados en los conjuntos, el diagrama estará representando únicamente la gráfica de los conjuntos.

2.- Realizar la gráfica de la unión de los conjuntos;

                                   P = {11,13,15,17,19}    y    Q = {12,14,16,18,20}

La unión es:              PUQ = {11,13,15,17,19}U{12,14,16,18,20}

                                 PUQ = {11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}

Y la gráfica correspondiente es:

Intersección de conjuntos

Ejemplos

1.- Sean los conjuntos G = {i,o,w,a,e}     y    M = {a,e,b,d,g,c,f}. Realizar la intersección de estos conjuntos y representarla gráficamente.

La intersección es:               G∩M = {i,o,w,a,e}∩{a,e,b,d,g,c,f} = {a,e}

Los elementos que se repiten son la a y la e.

Y la gráfica correspondiente muestra en el sombreado esta operación.
:

2.- Realizar la intersección de los conjuntos B = {2,3,4,5} y C = {4,5,6,7}.

La intersección es:               B∩C = {2,3,4,5}∩{4,5,6,7} = {4,5}

Y la gráfica correspondiente es:

Complemento de un conjunto

Ejemplos.

1.- Considere el conjunto universal U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} y el subconjunto propio de U, B = {2,3,4,5}. Determine el conjunto complemento de B y su gráfica correspondiente.

El conjunto complemento de B se denota con B’ y se forma con los elementos que le faltan a B para ser igual que el conjunto universal, y es: B’ = {1,6,7,8,9,10}.

El diagrama correspondiente a B’ es:

2.- Sean los conjuntos G = {i,o,w,a,e}     y    M = {a,e,b,d,g,c,f}.

Los cuales son subconjuntos propios de U = {a,e,i,o,u,b,c,d,f,g,w,x,y,z} . Realizar el conjunto complemento de la intersección de G y M, y representarlo gráficamente.

En este caso vamos a realizar más de una operación, por lo que es conveniente indicar el orden en que se realizan utilizando paréntesis. Recordemos que en una operación matemática, los paréntesis denotan prioridad, lo que debe realizarse primero.

La intersección de G y M la simbolizamos como: G∩M

El complemento de la intersección de G y M lo simbolizamos como: (G∩M)’

La intersección es:               G∩M = {i,o,w,a,e}∩{a,e,b,d,g,c,f} = {a,e}

Su diagrama es:

El complemento de G∩M es:         (G∩M)’ = { i,o,u,b,c,d,f,g,w,x,y,z}

Y el diagrama es: